并联混合有源电力滤波器系统稳定性分析

1 引言
    电力系统中非线性负荷日益增加导致谐波污染，谐波治理势在必行。
    无源电力滤波器造价低但存在许多难以克服的缺点，有源电力滤波器成本较高，应用受到限制。兼有二者优点的混合有源电力滤波器(HAPF)受到人们更多的重视。在HAPF的各种主回路拓扑中，将有源滤波器(APF)与无源滤波器(PPF)串联后并入电网的并联混合有源电力滤波器(PHAPF)^[1，2]，综合性能最优，得到更多的研究与应用。为取得好的滤波效果，此种混合有源电力滤波器必须采用基于网侧电流检测的电压源闭环控制方式^[3]，APF部分输出控制电压U_c=KI_sh(其中K为控制参量，I_sh为电网侧谐波电流)，并通过与其串联的无源滤波器网络形成谐波补偿电流。滤波效果与K相关，K越大滤波效果越好。但在实际系统中，由于稳定性的制约，K不能取值过大，因而滤波效果受到一定限制，在滤波效果和稳定性之间存在着矛盾。目前在有关研究文献中尚未见到关于这一闭环系统稳定性问题的定量分析。
    本文对PHAPF系统的单相电路进行了建模，对系统的稳定性进行了定量分析，分析结果为实际系统参数的设计与选择提供了依据。实验结果验证了分析的正确性。
    2 系统建模
    图1为PHAPF的单相原理图，图2为其谐波等效电路。将有源滤波器部分按(1)式控制为一个受控电压源Uc：
     Uc=K·I_sh                   (1)
    其中，U_c是有源滤波器部分的输出电压，I_sh是电网侧电流的谐波分量，K为一大于0的实数常量，具有阻抗量纲。由此并参照图2可以导出描述滤波器滤波效果的方程：
(2)
    其中，U_sh电网电压的谐波分量，Zsh是电网谐波阻抗，Zfh是无源滤波器的谐波阻抗，Ilh是负载电流的谐波分量。
    当K→∞时，I_sh=0，可以取得理想的滤波效果。但是，由于系统采用闭环控制，当K过大时会导致系统不稳定，因此在滤波效果与稳定性之间存在矛盾。
    为研究稳定性对K的制约，对图1所示闭环控制系统建模。
根据图1，可以得到其控制系统模型如图3所示。G₁(s)和G₂(s)
分别为无源网络的导纳传递函数和逆变器模型的电压传递函数。
    图1 PHAPF单相电路模型
    图2 PHAPF的谐波等效电路
    图3  控制系统模型
    为了分析方便，对于G₁(s)，暂只考虑11次单调谐无源滤波器网络，其导纳传递函数G₁(s)为：
(3)
    G₂(s)反映的是逆变器的频率特性，因APF中采用PWM电压型逆变器，为滤除PWM载波分量，其输出端接有LC二阶低通滤波器，因此逆变器具有二阶低通滤波器频率特性。
    图4为逆变器与典型2阶低通滤波器的频率特性比较，其中2阶低通滤波器的传递函数为：
(4)
    其中，ω_c为逆变器和2阶低通滤波器的截止频率。为简化分析，可取
(5)
     系统的开环传递函数G_K(s)为：
    图4  逆变器与典型2阶低通滤波器的频率特性比较
    (1.逆变器；2.典型2阶低通滤波器)
G_K(s)=KG₁(s)G₂(s)    (6)
     闭环传递函数Φ(s)为：
(7)
    3 稳定性分析
    3.1 劳斯判据分析
    闭环传递函数Φ(s)的特征方程D(s)为：
D(s)=L₁₁C₁₁s₄+2L₁₁Cω_cs³+(L₁₁C₁₁ω_c²+1)s²
+(2ω_c+KC₁₁ω_c²)s+ω_c²                                                             (8)
    根据劳斯判据，系统稳定的充分必要条件为劳斯表中各行第一列元素的符号不发生变化。
    表1  劳斯表及其列写规律
    其中，a₁=L₁₁C₁₁，a₂=L₁₁C₁₁ω_c²+1，a₃=L₁₁C₁₁ω_c，a₄=2ω_c+KC₁₁ω_c²。
    可以得到(9)
    根据劳斯判据，只要b₁和b₂为正，则系统稳定。因此可以求出：
(10)
    因ω_c》ω₁₁，1/C₁₁ω_c相对L₁₁ω_c来说很小，因此式(10)可以简
化为：
           0<K<2L₁₁ω_c    (11)
    式(11)即为系统稳定条件。系统的稳定性跟无源网络的电感和电压逆变器的截止频率有关，通过增加逆变器截止频率和无源网络的电感量有利于提高系统的稳定性，或改善系统的滤
波性能。
    3.2 根轨迹分析法   
    以上讨论中将无源滤波网络简化为11次单调谐滤波器，而实际系统的无源网络是由5、7、11次等单调谐滤波器并联组成的，闭环特征方程的次数很高，难以采用劳斯判据分析系统稳定
时K的取值范围。
    借助根轨迹法对系统控制模型进行分析，可以方便地求出系统稳定时K的取值范围，同时可以研究在接入几组不同组合的单调谐无源网络时，K取值范围的规律以及和系统参数的关系，从而为实际系统稳定工作时参数的选取提供依据。
    仍取无源网络为11次单调谐滤波器为例，并考虑其等效串联电阻r₁₁，其导纳传递函数G₁(s)为：
(12)
    将式(5)和(12)代入(6)，可求出开环传递函数GK<(s)。根据该开环传递函数编写Matlab的S函数并进行计算，可以得到K变化时系统根轨迹波形图5。其中11次单调谐滤波器参数选为：L₁₁
=0.209mH，C₁₁=400μF，r₁₁=30mΩ，ω_c=3.0×104rad/s。
    图5 K变化时系统的根轨迹
    从图5可以看出，当0<K≤11.9时，系统闭环传递函数的极点一直在左半平面，因此整个系统是稳定的。
    将相同参数代入式(11)，可以求出系统稳定时K的取值范围为：
           0<K<12
    说明两种方法的结果是一致的。在劳斯判据分析中由于没有考虑等效串联电阻r₁₁，并忽略了因子1/C₁₁ω_c，因此二者K的取值范围略有不同。
    当同时考虑5、7、11次等单调谐滤波器并联组成的无源网络时，可以得到系统的稳定条件为：
          0<K<2L_eω_c    (13)
其中： ，即等效电感L等于各单调谐支路电感的并联。
    4 实验验证
    在一台PHAPF实验样机上对以上分析结果进行了验证。样机实测样机逆变器截止频率为ω_c=3.0×104rad/s，无源滤波网络由5、7、11次单调谐滤波器并联组成，参数为：L5=0.404mH，C₅=1000μF，r₅=19mΩ；L₇=0.414mH，C₇=500μF，r₇=23mω；L₁₁=0.209mH，C_ll=400μF，r₁₁=30mΩ。由此可以求得L_e=0.103mH，2L_eω_c=6.18，即系统的稳定条件为：0<K<6.18。实测当K≤5时系统是稳定的，当K>5时系统开始出现不稳定迹象。说明本文分析结果基本是正确的。实验与分析结果的差异可能与系统中的各种附加相移有关。
    5 结语
    并联混合有源电力滤波器采用电压源闭环控制策略，滤波效果与稳定性之间存在矛盾，分析表明，系统稳定条件为：O<K<2L_eω_e，其中ωc为控制电压逆变器的截止频率，L_e为各无源网络电感的并联电感。因此为了获得更好的滤波效果和系统稳定性，应尽可能提高逆变器的截止频率，并采用适当大的无源网络电感。
   

    参考文献
[1] Fujita H，Akagi H．A．Practical Approach to Harmonic Com-pensafion in Power Systems-Series Connection of Passive and  Active Filters．IEEE IAS Annum Meeting Conference Record，1990：1107-1112．
[2] 唐卓尧，任震．并联型混合滤波器及其滤波特性分析．中国电机工程学报，第20卷，第5期，2000年5月．
[3]舒明磊. 混合有源滤波器控制策略研究．山东大学硕士论文， 2006．
[4]王划一．自动控制原理．北京：国防工业出版社，2001．11．
   

    作者简介
    汤华龙，男，1980年生，硕士，主要研究方向为电力电子与电力传动。
    李建明，男，1956年生，教授，主要研究方向为电力系统谐波抑制和无功补偿。