摘要： 介绍了直流偏置、矩形波激励和方波激励条件下铁氧体磁心损耗模型。结果表明：在有直流偏置的正弦波激励下，铁氧体磁心损耗会增大。在不同激励条件下通过对经典斯坦麦茨(Steinmetz)方程进行修正后其计算结果更符合实际情况。
关键字： 铁氧体磁心损耗 直流偏置 矩形波激励 方波激励
1 引言
软磁铁氧体材料因为其高电阻率、低损耗而在高频磁性元件中得到广泛应用。在这些磁性元件中，磁心损耗是设计人员较为关注的重要参数。一方面可以根据磁心损耗来进行器件的热设计，使产品符合规定的效能标准和避免产品过热而烧毁设备；另一方面，可以根据磁心损耗数据来选择合适尺寸的磁心，避免磁心尺寸设计不适当而造成材料浪费，从而降低生产成本。
一般在铁氧体厂家的产品目录中，会提供铁氧体材料和不同型号器件在正弦激励条件下的磁心损耗数值。但即使是正弦波激励状况，实际的应用条件往往也各不相同，铁氧体厂家不可能提供所有应用条件下的磁心损耗数据。为了得到正弦波激励时不同频率和工作磁通密度下的磁心损耗，设计人员通常借助斯坦麦茨(Steinmetz)经验公式[1]：
Pcv=C×f α×B β (1)
上式中Pcv是铁氧体磁心损耗密度；C是一个与铁氧体材料有关的系数；f是工作频率；B是交流工作磁通密度；α、β是待定系数，一般1≤α≤2，2≤β≤3[2]。
但在实际应用的磁性元件中，其激励信号往往并不是正弦波，可能是矩形波、方波、三角波等信号，即使是正弦波激励，有时往往会存在直流偏置磁场。在非正弦波激励和存在直流偏场的情况下，斯坦麦茨经验公式显然不再适用，需要进行修正。本文对直流偏置、矩形波激励、方波激励等情况下的磁心损耗计算模型进行了介绍。
2 直流偏置对磁心损耗的影响
磁性元件一般可分为电感与变压器两大类，它们实际应用中所发挥的作用是不同的。电感是一个储能元件，而变压器则是一个能量传递元件。在能量的传递或储存过程中不可避免地会引起损耗，这种损耗就是磁性元件的损耗，包括铜损和磁损（磁心损耗）。
磁心损耗是由磁心内部变化的磁场所引起的。由法拉第定理可知磁通密度是电压的函数，由安培定律知道磁场强度则是电流的函数。这里的电流对电感而言就是流过它的电流，但对变压器来讲则是流过激磁电感的电流。所以，通常变压器所产生的磁场是一个纯粹的交变磁场，没有任何直流分量，而电感却往往工作在具有较大直流分量的交变磁场中。
以往的磁心损耗计算通常认为直流偏置对损耗的影响较少，所以一般都不考虑直流偏置磁场对磁心损耗的影响。所以自软磁铁氧体材料发明以来，虽然人们对纯正弦波激励下的磁心损耗进行了大量研究，但直流偏置对磁心损耗影响的研究文献并不多[3-11]。事实上这种影响是存在的，在某种情况下会变得相当显著。
文献[4]被认为是近年来第一篇关于直流偏置对铁氧体磁心损耗影响的论文。文中通过实验对直流偏置下磁心损耗进行了研究，发现过去认为直流偏置对磁心损耗影响较少的观点值得商讨。实验结果表明当交变磁场幅度较大时，这种影响已经不能忽略；此外，他还发现即便是在中等磁场下，直流偏置磁场的影响就己经不容忽视，因为测量发现相同的交流磁场下，直流偏置磁场的存在会产生数倍于纯交变磁场的额外磁心损耗。该文的工作对磁性元件设计人员来讲具有很高的参考价值，但是其分析只通过图表的形式给出结果，影响了其在工程计算中的应用。[#page#]
文献[5]认为直流偏置会使磁心损耗增大。忽略剩余损耗，通过把直流偏置对磁心损耗的影响分解成对磁滞损耗和涡流损耗的影响，给出了计算直流偏置影响下的磁心损耗方法的复杂公式[5]：
(2)
式中s=Bdc/Bac，f、Bac和ρ分别为工作频率、交流磁通密度和材料电阻率；其它为待定参数。式中第一项表示直流偏置对磁滞损耗的影响，第二项表示直流偏置对涡流损耗的影响。用该公式计算的Magnetics公司的W牌号铁氧体材料在直流偏置下的理论磁心损耗与实际测试结果的比较如图1所示。结果发现理论值与实际值吻合得较好，误差基本在5%以内。但该公式过于复杂，待定参数较多，在实际应用中比较麻烦。
为了便于工程计算，设计人员总是力图对计算公式进行简化[6， 7， 11]。如前所述，斯坦麦茨(Steinmetz)经验公式广泛用于工程计算，但在该公式中的待定系数C没有考虑直流偏置磁场，所以把该公式用于有直流偏场的磁心损耗计算时，应当对该系数进行修正。最简单的办法就是在斯坦麦茨(Steinmetz)经验公式中乘上一个修正系数Cnew。即把公式(1)修改为：
Pcv=Cnew×C×f α×B β (3)
文献[6]通过对Nicera公司的NC-2H的30×13×9铁氧体磁心在不同测试条件下的结果进行分析拟合，得到：
Cnew=1+0.010023×Bdc×e-Bac /136.4 (4)
在100kHz正弦波激励下，不同直流偏置时磁心损耗的计算值与实测值如图2所示。其误差一般为5%左右，有较高的精度。
文献[11]同样通过对Nicera公司的NC-2H的30×13×9铁氧体磁心在不同测试条件下的结果进行分析拟合，得到：
(5)
用该公式分析Nicera公司NC-2H的30×13×9铁氧体磁心直流偏置下的磁心损耗计算值与实测值的误差在10%以内。
文献[7]通过对Magnetics公司的0F-44925-TC铁氧体磁心在不同测试条件下的结果进行分析拟合，得到：
(6)
计算结果与实测值能够较好地吻合。[#page#]
以上结果都是理想状况下的近似公式。在一般的应用频率(<500kHz)下，磁心损耗主要以磁滞损耗为主。而磁滞损耗理论上等于磁滞回线的面积。当直流偏场作用于磁心时，其磁滞回线会增大[10]，从而使磁心损耗上升。图3是MMG F49材料在不同直流偏场下的磁滞回线。测试磁心为25×15×10环形磁心，测试条件为100kHz/50mT。
实际上，直流偏置对磁心损耗的影响比较复杂。除工作频率、交流磁通密度和直流偏场的影响外，温度、磁心尺寸和形状等对磁心损耗都有影响。Baguley发现即使是同一类型的磁心，其尺寸不同时，直流偏场对磁心损耗的影响不同[10]。他分别对MMG F49材料的25×15×10和30×18×6两种尺寸的磁心在不同直流偏场下的损耗分别进行测试，测试时交流磁通密度为50mT，结果如图4所示。从图中看出，在直流偏场作用下，30×18×6磁心的损耗增加得更快。当测试频率为50kHz时损耗上升尤其显著，可能是该频率下磁心产生了铁磁共振[10]。
3 矩形波激励下的磁心损耗
前面已经介绍过，在磁性元件设计中，设计人员目前广泛使用的计算磁心损耗方法是用斯坦麦茨(Steinmetz)方程来计算，或者直接查阅软磁铁氧体材料生产厂家提供的产品数据手册中的图表来获得。但是无论是经典斯坦麦茨(Steinmetz)方程还是厂家数据手册上的图表仅仅适用于正弦波激励的情况。然而在高频功率变换器等应用中，激励信号很少是正弦波，通常是工作在矩形波信号激励或方波信号激励之下。所以正弦波激励产生的磁心损耗与矩形波或方波产生的磁心损耗之间的关联就成为设计人员要迫切解决的问题。本节介绍矩形波激励对磁心损耗的影响，下节介绍方波激励对磁心损耗的影响。
D.Y.Chen早在上世纪70年代就对非正弦波激励下磁心损耗进行了研究[12]。此后学术界进行了大量的工作来研究矩形波、方波乃至于任意波形激励下的磁心损耗问题[13-18]。其中对非正弦波激励利用傅立叶展开和对斯坦麦茨(Steinmetz)方程进行修正最为著名。
对非正弦波激励的傅立叶展开最初由Rudy Severns提出[13]。他的基本思想是：首先将非正弦波激励信号作傅立叶分析，得到各次谐波下的幅值和频率，然后利用斯坦麦茨(Steinmetz)方程分别计算各次谐波所产生的磁心损耗，最后将计算的结果叠加得到总的磁心损耗值，此时得到的结果就是非正弦波激励信号下所产生的磁心损耗。
分析不难发现傅立叶分解方法存在以下的问题：由于铁氧体磁心是一个非线性系统，而傅立叶分解之后再作叠加则是将非线性系统作线性系统来处理，这本身就引入了误差；为了较好的反映非正弦波信号，分解时通常要计算到较高次谐波[19]，当谐波频率高到一定程度之后就会超出磁心所能正常工作的频率范围，在这种情况下使用斯坦麦茨（Steinmetz）方程来计算磁心损耗已经意义不大。[#page#]
M. Albach等通过对斯坦麦茨(Steinmetz)方程进行修正来计算非正弦波激励下的磁心损耗[16]。他们认为磁心损耗主要与磁化速率相关联。修正的斯坦麦茨(Steinmetz)方程如下式所示：
(7)
式中feq称为等效频率，其值由下式确定：
(8)
由此可得矩形波激励信号下的磁心损耗计算公式为[7]：
(9)
上式中D为占空比。图5对不同磁心损耗计算方法与实测值进行了比较。测试磁心为Ferroxcube的3C85材料制备的E42/42/15型磁心，测试磁通密度为200mT，测试温度为100℃。可以看出用该修正的斯坦麦茨(Steinmetz)方程计算得到的磁心损耗与实测值吻合得最好[16，20]。用傅立叶分析得到的结果误差最大。
表1所示的是利用修正的斯坦麦茨(Steinmetz)方程得到的磁心损耗计算值与测量值之间的误差值[7]。测试磁心为Magnetics公司的0F-44925-TC铁氧体磁心。由该表发现绝大多数的计算结果误差值在10%左右，只有个别测量点的误差较大，这也就说明式(9)所描述的函数关系具有足够的精度。
4 方波激励下的磁心损耗
D.Y.Chen通过对方波激励下磁心损耗进行了研究，发现方波激励下的磁心损耗比相同频率、相同磁通密度幅值下的正弦波激励磁心损耗要低，他是最早进行非正弦波激励下磁心损耗研究者之一。同样，有傅立叶谐波分析等不同理论计算方法来预先计算方波激励下的磁心损耗。如果设正弦波激励下的磁心损耗为Pcv，正弦波，方波激励下的磁心损耗为Pcv，方波。利用傅立叶分析可求得方波激励与正弦波激励磁心损耗的比值为[13， 21]：
(10)
公式中n=1， 3， 5…，为谐波次数；α、β与公式(1)中的物理意义相同。回归分析计算结果表明，方波中对磁心损耗起决定作用的是基波分量，高次谐波损耗占总损耗的比例很小。由于随着谐波次数n的增大，谐波产生的损耗迅速下降，所以高次谐波的损耗总和也不会太大。但是对于占空比不等于0.5的矩形波激励的情况，高次谐波的损耗可能会增大因而会对总损耗有很大的影响。
而用等效频率法得到的方波激励与正弦波激励磁心损耗的比值为[16，21]：
(11)
该结果与谐波分析得到的结果基本相似。[#page#]
通常认为：铁氧体材料的损耗一般由三部分组成：磁滞损耗、涡流损耗和剩余损耗。在频率不太高的情况下，主要考虑磁滞损耗和涡流损耗。磁心损耗理论计算的困难主要是对磁滞损耗的计算。虽然关于磁滞损耗的模型很多，但多比较复杂，需要确定的参数较多，一般很难用于工程计算。所以需要对磁滞损耗进行简单近似处理。在高频应用中可以认为：对不同波形的激励信号，在相同的激励频率下，只要其磁通密度的幅值相同，其磁滞损耗相同[14]。此时不同激励下磁心损耗的差异主要来自涡流损耗不同。对正弦波激励下的涡流损耗为：
(12)
式中Ae为磁心的有效截面积；ρ为铁氧体材料电阻率。对方波激励下的涡流损耗则为：
(13)
于是方波和正弦波激励下磁心损耗的比值为：
(14)
用该简化模型计算得到的磁心损耗与实测值对比于图6中。图中(a)为Magnetics公司的F材料制备的R16型磁心；(b)为Magnetics公司的P材料制备的R16型磁心。可以看出：在500kHz以下，计算值与实测值符合得较好。但在1MHz时，计算值小于实测值。可能跟高频下材料电阻率下降得较快有关。
文献[22]考虑到不同方波激励下的占空比D不同，对斯坦麦茨(Steinmetz)方程进行修正，得到方波激励下的磁心损耗为：
Pcv，方波=[D1-α +(1-D)1- α]×CN×(2 f )α×Bβ (15)
使用回归分析，分别对Ferroxcube公司的3F3材料ETD44磁心和EPCOS的N67材料的EE42磁心的磁心损耗实测值和计算值进行了比较，结果示于图7和图8。图中圆点为实测值，实线为公式(15)的计算值，点实线为公式(1)的计算值。测试条件为100kHz/100mT，测试温度为100℃。结果表明，使用经典的斯坦麦茨(Steinmetz)方程(1)得到的磁心损耗值与占空比无关，这与实验结果不符。而利用修正的斯坦麦茨(Steinmetz)方程(15)得到的结果与实测值符合得较好。
5 结论
在磁性元件的设计中，对磁心损耗的计算是设计人员的重要工作内容。磁性元件设计人员不可能都事先对所有磁性元件的损耗进行实验测试，所以进行磁心损耗理论计算具有重要意义。磁心损耗的计算模型很多，可根据精度要求和适用范围来选择使用。以上所介绍的各种计算模型都是指一定温度下（通常是损耗谷点温度）的磁心损耗计算，实际应用中还要考虑温度对磁心损耗的影响。[#page#]
参考文献
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